高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語綜合檢測 新人教B版選修2-1

高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語綜合檢測 新人教B版選修2-1 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．命題：“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是(　　) A．若x2≥1，則x≥1，或x≤－1 B．若－1＜x＜1，則x2＜1 C．若x＞1，或x＜－1，則x2＞1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 【解析】　命題“若p，則q”的逆否命題為“若綈q，則綈p”． 【答案】　D 2(xx·濟南高二期末)若一個命題p的逆命題是一個假命題，則下列判斷一定正確的是(　　) A．命題p是真命題 B．命題p的否命題是假命題 C．命題p的逆否命題是假命題 D．命題p的否命題是真命題 【解析】　命題p的逆命題與其否命題是互為逆否命題，具有相同的真假性，其他命題的真假無法確定． 【答案】　B 3．(xx·合肥高二檢測)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是 (　　) A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 【解析】　把全稱量詞改為存在量詞并把結(jié)論否定． 【答案】　D 4．(xx·福建高考)設(shè)點P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點P在直線l：x＋y－1＝0上”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　當(dāng)x＝2且y＝－1時，滿足方程x＋y－1＝0, 即點P(2，－1)在直線l上．點P′(0,1)在直線l上，但不滿足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“點P(x，y)在直線l上”的充分而不必要條件． 【答案】　A 5．(xx·安徽高考)設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　當(dāng)α⊥β時，由于α∩β＝m，b?β，b⊥m，由面面垂直的性質(zhì)定理知，b⊥α.又∵a?α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分條件． 而當(dāng)a?α且a∥m時，∵b⊥m，∴b⊥a.而此時平面α與平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要條件，故選A. 【答案】　A 6．已知命題p：“a＝1”是“?x＞0，x＋≥2”的充分必要條件；命題q：?x0∈R，x＋x0－1＞0，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．命題“p∧q”是真命題 B．命題“p∧綈q”是真命題 C．命題“綈p∧q”是真命題 D．命題“綈p∧綈q”是真命題 【解析】　當(dāng)a＝1時，x＋＝x＋≥2對?x＞0成立，但反之不成立，故“a＝1”是“?x＞0，x＋≥2”的充分不必要條件，p為假命題，而q為真命題，故只有C正確． 【答案】　C 7．下列命題錯誤的是(　　) A．命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題為：“若方程x2＋x－m＝0無實根，則m≤0” B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要條件 C．若p∧q為假命題，則p、q均為假命題 D．對于命題：?x∈R，使得x2＋x＋1＜0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0 【解析】　A、B、D都正確，對于C選項，若p∧q為假命題，可能p、q均為假命題，也有可能p、q一真一假，故C錯． 【答案】　C 8．(xx·鄭州高二檢測)下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要條件是(　　) A．a(chǎn)＞b＋1 B．a(chǎn)＞b－1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 【解析】　由a＞b＋1，得a＞b，反之不成立． 【答案】　A 9．(xx·湛江高二檢測)對?x∈R，kx2－kx－1＜0是真命題，則k的取值范圍是(　　) A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0 C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0 【解析】　由題意即kx2－kx－1＜0對任意x∈R恒成立，當(dāng)k＝0時，－1＜0恒成立；當(dāng)k≠0時，有，即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0. 【答案】　C 10．給出下列命題： ①?x∈R，不等式x2＋2x>4x－3成立； ②若log2x＋logx2≥2，則x>1； ③命題“若a>b>0且c<0，則>”的逆否命題； ④若命題p：?x∈R，x2＋1≥1.命題q：?x0∈R，x－2x0－1≤0，則命題p∧綈q是真命題． 其中真命題有(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解析】?、僦?，x2＋2x>4x－3?(x－1)2＋2>0恒成立，①為真命題． ②中，由log2x＋logx2≥2，且log2x與logx2同號， ∴l(xiāng)og2x>0，∴x>1，②為真命題． ③中，易知“a>b>0且c<0時，>”， ∴原命題為真命題，故逆否命題為真命題，③為真命題． 在④中，p、q均為真命題，則命題p∧綈q為假命題． 【答案】　A 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．) 11．“相似三角形的面積相等”的否命題是________．它的否定是________． 【答案】　若兩個三角形不相似，則它們的面積不相等　有的相似三角形的面積不相等 12．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命題，f(2)>0是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是______． 【解析】　依題意，∴3≤m<8. 【答案】　[3,8) 13．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________. 【解析】　由Δ＝16－4n≥0得n≤4，又∵n∈N*，故n＝1,2,3,4，驗證可知n＝3,4，符合題意；反之，當(dāng)n＝3,4時，可以推出一元二次方程有整數(shù)根． 【答案】　3或4 14．給出以下判斷： ①命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題； ②命題“?x∈N，x3>x2”的否定是“?x0∈N，使x>x”； ③“b＝0”是“函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)”的充要條件； ④“正四棱錐的底面是正方形”的逆命題為真命題． 其中正確命題的序號是________． 【解析】?、佗冖苁羌倜}，③是真命題． 【答案】?、? 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．) 15．(本小題滿分12分)π為圓周率，a、b、c、d∈Q，已知命題p：若aπ＋b＝cπ＋d，則a＝c且b＝d. (1)寫出綈p并判斷真假； (2)寫出p的逆命題、否命題、逆否命題并判斷真假． 【解】　(1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，則a≠c或b≠d”． ∵a、b、c、d∈Q，由aπ＋b＝cπ＋d， ∴π(a－c)＝d－b∈Q，則a＝c且b＝d. 故p是真命題，∴綈p是假命題． (2)逆命題：“若a＝c且b＝d，則aπ＋b＝cπ＋d”．真命題． 否命題：“若aπ＋b≠cπ＋d，則a≠c或b≠d”．真命題． 逆否命題：“若a≠c或b≠d，則aπ＋b≠cπ＋d”．真命題． 16．(本小題滿分12分)設(shè)命題p：?x0∈R，x＋2ax0－a＝0.命題q：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍． 【解】　當(dāng)p為真時，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，當(dāng)q為真時，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立， ∴即a≥2. 由題意得，命題p與q一真一假． 當(dāng)命題p為真，命題q為假時，得a≤－1或0≤a＜2. 當(dāng)命題p為假，命題q為真時，得a∈?. ∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1]∪[0,2)． 17．(本小題滿分12分)設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°. 【證明】　充分性：∵∠A＝90°， ∴a2＝b2＋c2. 于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0， ∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0. ∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0. ∴該方程有兩根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)， 同樣另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化為x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0， ∴該方程有兩根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)． 可以發(fā)現(xiàn)，x1＝x3， ∴方程有公共根． 必要性：設(shè)x是方程的公共根， 則 由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)． 代入①并整理，可得a2＝b2＋c2. ∴∠A＝90°. ∴結(jié)論成立． 圖1 18．(本小題滿分14分)(xx·陜西高考)(1)如圖1所示，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真； (2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)． 【解】　 (1) (1)法一　如圖(1)，過直線b上任一點作平面π的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面． 根據(jù)平面向量基本定理，存在實數(shù)λ，μ使得c＝λb＋μn， 則a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)． 因為a⊥b，所以a·b＝0. 又因為aπ，n⊥π， 所以a·n＝0. 故a·c＝0，從而a⊥c. (2) 法二　如圖(2)，記c∩b＝A，P為直線b上異于點A的任意一點，過P作PO⊥π，垂足為O，則O∈c. 因為PO⊥π，aπ，所以直線PO⊥a. 又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P， 所以a⊥平面PAO. 又c平面PAO， 所以a⊥c. (2)逆命題為：a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b. 逆命題為真命題．