八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版23

廣西桂林一中2015-2016學(xué)年八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分） 1．下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 2．二次根式有意義的條件是（　　） A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3 3．正方形面積為36，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（　　） A．6 B． C．9 D． 4．如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（　?。? A． +1 B．﹣ +1 C．﹣1 D． 5．下組給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（　?。? A．3，4，6 B．15，8，17 C．21，16，18 D．9，12，17 6．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（　　） A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相平分且相等 7．能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　） A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD 8．?ABCD中∠A為50，則∠B為（　　）度． A．50 B．40 C．130 D．150 9．如圖，在?ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則EC等于（　?。? A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 10．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF=3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（　?。? A．12 B．16 C．20 D．24 11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 12．如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線DE交BC于點(diǎn)F，則∠BEF=（　?。? A．45 B．30 C．60 D．55 　 二、填空題（本大題共6小題，每空3分，共18分） 13．若，則m﹣n的值為　　　　　?。? 14．比較大小：﹣3　　　　　　﹣2． 15．已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為8cm和6cm，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是　　　　　　cm，面積是　　　　　　cm2． 16．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長(zhǎng)為　　　　　?。? 17．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF=　　　　　　度． 18．在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE和PC的長(zhǎng)度之和最小是　　　　　　． 　 三．解答題：（本大題共66分） 19．（16分）（2016春?桂林校級(jí)期中）計(jì)算： （1） （2） （3） （4）． 20．已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是cm，寬是cm，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積． 21．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC． 22．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）． （1）四邊形EFGH的形狀是　　　　　　，證明你的結(jié)論； （2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足　　　　　　條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形； （3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？　　　　　?。? 23．已知：如圖，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13． （1）求BC的長(zhǎng)度； （2）線段BC與線段BD的位置關(guān)系是什么？說明理由． 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC． 25．閱讀下面問題： ； ； ． 試求：（1）的值； （2）（n為正整數(shù)）的值． （3）計(jì)算：． 26．（10分）（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F． （1）在圖1中證明CE=CF； （2）若∠ABC=90，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)； （3）若∠ABC=120，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)． 　  2015-2016學(xué)年廣西桂林一中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分） 1．下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式． 【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是． 【解答】解：A、被開方數(shù)含分母，故A錯(cuò)誤； B、被開方數(shù)含分母，故B錯(cuò)誤； C、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故C錯(cuò)誤； D、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D正確； 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 　 2．二次根式有意義的條件是（　?。? A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x+3≥0，求出即可． 【解答】解：∵要使有意義，必須x+3≥0， ∴x≥﹣3， 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件的應(yīng)用，注意：要使有意義，必須a≥0． 　 3．正方形面積為36，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（　　） A．6 B． C．9 D． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，且正方形對(duì)角線相等，列方程解答即可． 【解答】解：設(shè)對(duì)角線長(zhǎng)是x．則有 x2=36， 解得：x=6． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，注意結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．此題也可首先根據(jù)面積求得正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解． 　 4．如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（　?。? A． +1 B．﹣ +1 C．﹣1 D． 【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸． 【分析】先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】解：圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2， ∴斜邊長(zhǎng)為： =， ∴﹣1到A的距離是，那么點(diǎn)A所表示的數(shù)為：﹣1． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式，解答此題時(shí)要注意，確定點(diǎn)A的符號(hào)后，點(diǎn)A所表示的數(shù)是距離原點(diǎn)的距離． 　 5．下組給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（　?。? A．3，4，6 B．15，8，17 C．21，16，18 D．9，12，17 【考點(diǎn)】勾股數(shù)． 【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方． 【解答】解：A、42+32≠62，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤； B、82+152=172，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確； C、162+182≠212，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤； D、92+122≠172，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形． 　 6．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（　　） A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相平分且相等 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，矩形的對(duì)角線相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分． 【解答】解：菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分．故本題選C． 【點(diǎn)評(píng)】熟悉菱形和矩形的對(duì)角線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 　 7．能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　?。? A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定． 【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用． 【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC，則四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、AB=CD，AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項(xiàng)正確； C、∠A=∠B，∠C=∠D，則四邊形為等腰梯形或矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、AB=AD，CB=CD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定．注意掌握舉反例的解題方法是解此題的關(guān)鍵． 　 8．?ABCD中∠A為50，則∠B為（　?。┒龋? A．50 B．40 C．130 D．150 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)即可得出∠B的度數(shù)． 【解答】解：∵在?ABCD中∠A=50， ∴∠B=180﹣∠A=180﹣50=130． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)． 　 9．如圖，在?ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則EC等于（　?。? A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可以推導(dǎo)出等角，進(jìn)而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根據(jù)AD、AB的值，求出EC的值． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠BEA ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠BAE=∠BEA ∴BE=AB=3 ∵BC=AD=5 ∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題． 　 10．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF=3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（　?。? A．12 B．16 C．20 D．24 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出BC，再根據(jù)菱形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴EF是△ABC的中位線， ∴BC=2EF=23=6， ∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4BC=46=24． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的四條邊都相等，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，求出菱形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵． 　 11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】因?yàn)锽C為AF邊上的高，要求△AFC的面積，求得AF即可，求證△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，設(shè)D′F=x，則在Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到結(jié)果． 【解答】解：易證△AFD′≌△CFB， ∴D′F=BF， 設(shè)D′F=x，則AF=8﹣x， 在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42， 解之得：x=3， ∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5， ∴S△AFC=?AF?BC=10． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換﹣折疊問題，勾股定理的正確運(yùn)用，本題中設(shè)D′F=x，根據(jù)直角三角形AFD′中運(yùn)用勾股定理求x是解題的關(guān)鍵． 　 12．如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線DE交BC于點(diǎn)F，則∠BEF=（　?。? A．45 B．30 C．60 D．55 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先設(shè)∠BAE=x，根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=AE=AD，∠BAD=90，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠AEB和∠AED的度數(shù)，根據(jù)平角定義求出即可． 【解答】解：設(shè)∠BAE=x， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90，AB=AD， ∵AE=AB， ∴AB=AE=AD， ∴∠ABE=∠AEB=（180﹣∠BAE）=90﹣x， ∠DAE=90﹣x， ∠AED=∠ADE=（180﹣∠DAE）= [180﹣（90﹣x）]=45+x， ∴∠BEF=180﹣∠AEB﹣∠AED =180﹣（90﹣x）﹣（45+x） =45． 答：∠BEF的度數(shù)是45． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是如何把已知角的未知角結(jié)合起來，題目比較典型，但是難度較大． 　 二、填空題（本大題共6小題，每空3分，共18分） 13．若，則m﹣n的值為　4?。? 【考點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方． 【分析】根據(jù)任何非負(fù)數(shù)的平方根以及偶次方都是非負(fù)數(shù)，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)一定都是0，即可得到關(guān)于m．n的方程，從而求得m，n的值，進(jìn)而求解． 【解答】解：根據(jù)題意得：， 解得：． 則m﹣n=3=（﹣1）=4． 故答案是：4． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0． 　 14．比較大?。憨??。肌々?． 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較． 【分析】先把兩數(shù)平方，再根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法即可比較大?。? 【解答】解：∵（3）2=18，（2）2=12， ∴﹣3＜﹣2． 故答案為：＜． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，實(shí)數(shù)大小比較法則： （1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)； （2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小． 　 15．已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為8cm和6cm，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是　20　cm，面積是　24　cm2． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出兩對(duì)角線長(zhǎng)的一半，然后利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解； 根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為8cm和6cm， ∴菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半分別為4cm和3cm， 根據(jù)勾股定理，邊長(zhǎng)==5cm， 所以，這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是54=20cm， 面積=86=24cm2． 故答案為：20，24． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵，另外，菱形的面積可以利用底乘以高，也可以利用對(duì)角線乘積的一半求解． 　 16．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長(zhǎng)為　　． 【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理． 【分析】本題考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)求解． 【解答】解：觀察圖形 AB==，AC==3，BC==2 ∴AC2+BC2=AB2，∴三角形為直角三角形， ∵直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 ∴CD=． 【點(diǎn)評(píng)】解決此類題目要熟記斜邊上的中線等于斜邊的一半．注意勾股定理的應(yīng)用． 　 17．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF=　90　度． 【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形AEDF為平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠3，故可得出?AEDF為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF為平行四邊形， ∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3， ∵AD是△ABC的角平分線， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AE=DE． ∴?AEDF為菱形． ∴AD⊥EF，即∠AOF=90． 故答案為：90． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出四邊形AEDF是菱形是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE和PC的長(zhǎng)度之和最小是　　． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【分析】連接AC、AE，由正方形的性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線BD對(duì)稱，故AE的長(zhǎng)即為PE+PC的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可． 【解答】解：如圖所示：連接AC、AE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴A、C關(guān)于直線BD對(duì)稱， ∴AE的長(zhǎng)即為PE+PC的最小值， ∵BE=2，CE=1， ∴BC=AB=2+1=3， 在Rt△ABE中， ∵AE===， ∴PE與PC的和的最小值為． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題及正方形的性質(zhì)，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵． 　 三．解答題：（本大題共66分） 19．（16分）（2016春?桂林校級(jí)期中）計(jì)算： （1） （2） （3） （4）． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并同類二次根式進(jìn)而得出答案； （2）直接利用二次根式除法運(yùn)算法則求出答案； （3）直接利用平方差公式計(jì)算得出答案； （4）利用完全平方公式以及二次根式乘法運(yùn)算法則求出答案． 【解答】解：﹙1﹚原式=2+2﹣3+ =3﹣； ﹙2﹚原式==； ﹙3﹚原式=﹙3﹚2﹣﹙2﹚2 =18﹣12 =6； ﹙4﹚原式=2﹣2+3+6 =5﹣2+2 =5． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵． 　 20．已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是cm，寬是cm，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積． 【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式列式，然后化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可； 根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列式，然后根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得解． 【解答】解：周長(zhǎng)=2（+）， =2（3+2）， =（6+4）cm； 面積=， =32， =6cm2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，主要利用了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與面積公式以及二次根式的加法和乘法運(yùn)算． 　 21．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠BAD=∠BCD，證出∠DAE=∠AEB，由已知條件得出∠DAE=∠FCB=∠AEB，證出AE∥FC，得出四邊形AECF為平行四邊形，即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC∠BAD=∠BCD， ∴AF∥EC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠DAE=∠BAD，∠FCB=∠BCD， ∴∠DAE=∠FCB=∠AEB， ∴AE∥FC， ∴四邊形AECF為平行四邊形， ∴AF=CE． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定；證明四邊形AECF為平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵． 　 22．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）． （1）四邊形EFGH的形狀是　平行四邊形　，證明你的結(jié)論； （2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足　互相垂直　條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形； （3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？　菱形?。? 【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形． 【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形； （2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形； （3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角可得∠1=90，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3=90，再根據(jù)垂直定義解答． 【解答】解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下： 如圖，連結(jié)BD． ∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)， ∴EH∥BD，EH=BD， 同理FG∥BD，F(xiàn)G=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形； （2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下： 如圖，連結(jié)AC、BD． ∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)， ∴EH∥BD，HG∥AC， ∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG， 又∵四邊形EFGH是平行四邊形， ∴平行四邊形EFGH是矩形； （3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下： 如圖，連結(jié)AC、BD． ∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)， ∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH=BD，F(xiàn)G=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵EH∥BD，HG∥AC， ∴EH⊥HG， ∴平行四邊形EFGH是矩形． 故答案為：平行四邊形；互相垂直；菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵． 　 23．已知：如圖，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13． （1）求BC的長(zhǎng)度； （2）線段BC與線段BD的位置關(guān)系是什么？說明理由． 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)度； （2）運(yùn)用勾股定理的逆定理即可判斷BC⊥BD． 【解答】解：（1）∵AB=3，AC=4，AB⊥AC， ∴BC==5； （2）BC⊥BD，理由如下： ∵BC=5，BD=12，CD=13， ∴BC2+BD2=25+144=169=132=CD2， ∴∠CBD=90， ∴BC⊥BD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理，利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理． 【分析】首先由四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可證得△BCF≌△DCE，再延長(zhǎng)BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易求得∠CDE+∠2=90，則可得BF⊥DE，再根據(jù)由BC=5，CF=3，∠BFC=90，利用勾股定理即可求得BF的長(zhǎng)，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的長(zhǎng)，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90，進(jìn)而證明DE∥FC． 【解答】證明：延長(zhǎng)BF交DE于H， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90，BC=CD， ∴∠BCF+∠FCD=90， ∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE， ∴∠ECD+∠FCD=90， ∴∠BCF=∠ECD． 在△BCF和△DCE中， ， ∴△BCF≌△DCE（SAS）， 延長(zhǎng)BF交DE于H， ∴BF=DE，∠CBF=∠CDE， ∵∠CBF+∠1=90，∠1=∠2， ∴∠2+∠CDE=90， ∴∠DHF=90， ∴BF⊥DE， 在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90， ∴BF==4． ∵△BCF≌△DCE， ∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90． ∴DE∥FC． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 25．閱讀下面問題： ； ； ． 試求：（1）的值； （2）（n為正整數(shù)）的值． （3）計(jì)算：． 【考點(diǎn)】分母有理化． 【分析】（1）（2）仿照題目所給的分母有理化的方法進(jìn)行計(jì)算； （3）將每一個(gè)二次根式分母有理化，再尋找抵消規(guī)律． 【解答】解：（1）= = =﹣； （2）= = =﹣； （3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣ =﹣1=10﹣1=9． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同． 　 26．（10分）（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F． （1）在圖1中證明CE=CF； （2）若∠ABC=90，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)； （3）若∠ABC=120，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可． （2）根據(jù)∠ABC=90，G是EF的中點(diǎn)可直接求得． （3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形． 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案 【解答】（1）證明：如圖1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF． （2）解：連接GC、BG， ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90， ∴四邊形ABCD為矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠BAF=45， ∵∠DCB=90，DF∥AB， ∴∠DFA=45，∠ECF=90 ∴△ECF為等腰直角三角形， ∵G為EF中點(diǎn)， ∴EG=CG=FG，CG⊥EF， ∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC， ∴BE=DC， ∵∠CEF=∠GCF=45， ∴∠BEG=∠DCG=135 在△BEG與△DCG中， ∵， ∴△BEG≌△DCG， ∴BG=DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA=90， 又∵∠DGC=∠BGA， ∴∠BGA+∠DGA=90， ∴△DGB為等腰直角三角形， ∴∠BDG=45． （3）解：延長(zhǎng)AB、FG交于H，連接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四邊形AHFD為平行四邊形 ∵∠ABC=120，AF平分∠BAD ∴∠DAF=30，∠ADC=120，∠DFA=30 ∴△DAF為等腰三角形 ∴AD=DF， ∴CE=CF， ∴平行四邊形AHFD為菱形 ∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形 ∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60 ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴BH=GF 在△BHD與△GFD中， ∵， ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH=∠GDF ∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問題時(shí)，可以通過以下的步驟進(jìn)行思考和分析：（1）通過測(cè)量或特殊情況的提示進(jìn)行猜想；（2）根據(jù)猜想的結(jié)果進(jìn)行聯(lián)想（如60度角可以聯(lián)想到等邊三角形，45度角可以聯(lián)想到等腰直角三角形等）；（3）在聯(lián)想的基礎(chǔ)上根據(jù)已知條件利用幾何變換（如旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱等）構(gòu)造全等解決問題．