江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題四 函數(shù)與導數(shù) 第1講 函數(shù)的圖象與性質學案.doc

第1講　函數(shù)的圖象與性質 [考情考向分析]　1.函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質是B級要求，主要是利用函數(shù)圖象，即通過數(shù)形結合思想解決問題. 2.指數(shù)與對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質都是考查熱點， B級要求.3.函數(shù)與方程是B級要求，但經常與二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖象和性質綜合起來考查，試題難度中等偏上． 熱點一　函數(shù)性質及其運用 例1　(1)(2018江蘇徐州銅山中學期中)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(2x－1)＋f(4－x2)>2，則實數(shù)x的取值范圍是________． 答案　(－1,3) 解析　令g(x)＝f(x)－1 ，則g(x)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)， 由f(2x－1)＋f(4－x2)>2，得g(2x－1)＋g(4－x2)>0，所以g(2x－1)>g(x2－4)，即2x－1>x2－4， 所以x2－2x－3<0，解得－1<x<3. (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝|x－a|－a(a∈R)．若?x∈R，f(x＋2 016)>f(x)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－∞，504) 解析　當a＝0時，f(x)＝x，x∈R，滿足條件； 當a<0時，f(x)＝為R上的單調遞增函數(shù)，也滿足條件； 當a>0時，f(x)＝ 要滿足條件，需4a<2 016 ，即0<a<504， 綜上，實數(shù)a的取值范圍是a<504. 思維升華　(1)可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，將所求函數(shù)值轉化為給出解析式的范圍內的函數(shù)值．(2)利用函數(shù)的單調性解不等式的關鍵是化成f(x1)<f(x2)的形式． 跟蹤演練1　(1)(2018江蘇省前黃中學等三校聯(lián)考)若f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當x∈(0,1)時， f(x)＝x2－8x＋30，則f()＝__________. 答案　－24 解析　∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當x∈(0,1)時， f(x)＝x2－8x＋30， ∴f＝f＝－f＝－24. (2)(2018常熟期中)已知奇函數(shù)f(x)在上單調遞減，且f(2)＝0，則不等式>0的解集為________． 答案　(－2,0)∪(1,2) 解析　∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在(－∞，0)上單調遞減， ∴f(x)在(0，＋∞)上也單調遞減， 又∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(2)＝0， ∴f(－2)＝－f(2)＝0，∴當x＜－2或0＜x＜2時，f(x)＞0，當－2＜x＜0或x＞2時，f(x)＜0(如圖)， ∴不等式>0等價于 或 解得x∈(－2,0)∪(1,2)． 熱點二　函數(shù)圖象及其運用 例2　(1) 已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[－2,0] 解析　函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖，y＝ax為過原點的一條直線，當a＞0時，與y＝|f(x)|在y軸右側總有交點，不合題意；當a＝0時，成立；當a＜0時，找與y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情況，即y′＝2x－2，切線方程為y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0，所以a＝－2，綜上，a∈[－2,0]． (2)已知函數(shù)f(x)＝若a<b<c且f＝f＝f，則(ab＋1)c的取值范圍是________． 答案　 解析　作出函數(shù)f(x)＝的圖象，如圖所示． ∵當a<b<c時，f(a)＝f(b)＝f(c)， ∴－log4a＝log4b，即log4a＋log4b＝0，則log4(ab)＝0， ∴<a<1<b<4<c<6，且ab＝1， ∴16＝24<c＝2c<26＝64， 即c的取值范圍是. 思維升華　(1)涉及到由圖象求參數(shù)問題時，常需構造兩個函數(shù)，借助兩函數(shù)圖象求參數(shù)范圍； (2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，因此，函數(shù)性質的確定與應用常與圖象數(shù)形結合研究． 跟蹤演練2　(1)已知定義在區(qū)間上的函數(shù)y＝f的圖象如圖所示，對于滿足0<x1<x2<1的任意x1，x2給出下列結論： ①f－f>x2－x1； ②x2f>x1f； ③<f. 其中正確的結論是________．(把所有正確結論的序號都填寫在橫線上) 答案?、冖? 解析　由f－f>x2－x1，可得>1，即兩點與連線的斜率大于1，顯然①不正確；由x2f>x1f，得>，即表示兩點，與原點連線的斜率的大小，可以看出結論②正確；結合函數(shù)圖象，容易判斷結論③正確． (2)(2018江蘇省常州市橫林高中月考)已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(2x2－|x|)≤5的解集為________． 答案　 解析　方法一　作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示． 若2x2－<0，則不等式f≤5恒成立，此時<0，得0<<； 若2x2－≥0, ∵f＝5，∴不等式f≤5等價于f≤f， 則2x2－≤1, 則0≤≤1, 又≥或≤0， ∴≤≤1或＝0， 綜上，0≤≤1，故－1≤x≤1. 方法二　∵f(1)＝5，∴f(2x2－|x|)≤5等價于2x2－|x|≤1， 解得0≤|x|≤1，故－1≤x≤1. 熱點三　函數(shù)與方程 例3　(1)函數(shù)f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零點個數(shù)為________． 答案　2 解析　f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)| ＝2sin x－|ln(x＋1)| ＝sin 2x－|ln(x＋1)|， 令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|. 在同一坐標系中作出兩個函數(shù)y＝sin 2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示． 觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f(x)有2個零點． (2)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x)＝－2f(x＋1)，當x∈時，f(x)＝x2，若函數(shù)y＝af(x)－log4(x＋1)(a>0)恰有4個零點，則a的取值范圍是________． 答案　4<a≤16log46 解析　函數(shù)y＝af(x)－log4(x＋1)恰有4個零點，等價于y＝af(x)與y＝log4的圖象有4個交點，則a＞0，畫出y＝af(x)與y＝log4(x＋1)的圖象． ∵f(x)滿足f(x)＝－2f(x＋1)，當x∈時，f(x)＝x2， ∴當x∈時，f(x)＝－2(x＋1)2， 由圖象知在上兩圖象有一個交點，在上有兩個交點，只需在上有一個交點即可，如圖， 解得4<a≤16log46. 思維升華　(1)求解零點或零點個數(shù)的方法：解方程法、利用零點存在的判定定理、數(shù)形結合法．(2)利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)范圍的方法：①利用零點存在的判定定理構建不等式求解；②分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；③轉化為熟悉的兩函數(shù)圖象的上、下關系，從而構建不等式求解． 跟蹤演練3　(1)(2016江蘇)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點個數(shù)是________． 答案　7 解析　在區(qū)間[0,3π]上分別作出y＝sin 2x和y＝cos x的簡圖如下： 由圖象可得兩圖象有7個交點． (2)(2018江蘇省海門中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝若f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上有且只有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案　 解析　當0≤x≤1時，由2x2＋2mx－1＝0，得 m＝－x＋(x＝0顯然不是零點)， 當x>1時，函數(shù)的零點滿足mx＋2＝0，則m＝－， 由題意可得函數(shù)y＝m與函數(shù)g(x)＝有兩個不同的交點， 繪制函數(shù)圖象如圖所示，結合函數(shù)圖象可知，實數(shù)m的取值范圍是. 1．(2016江蘇)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，則f(5a)的值是________． 答案?。? 解析　由已知得， f＝f＝f＝－＋a， f＝f＝f＝＝. 又f＝f， 則－＋a＝，∴a＝， ∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1) ＝－1＋＝－. 2．(2018江蘇)若函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)內有且只有一個零點，則f(x)在[－1,1]上的最大值與最小值的和為________． 答案　－3 解析　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x＞0)． ①當a≤0時，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增， 又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上無零點，不合題意． ②當a＞0時，由f′(x)＞0，解得x＞， 由f′(x)＜0，解得0＜x＜， ∴f(x)在上單調遞減， 在上單調遞增． 又f(x)只有一個零點，∴f＝－＋1＝0，∴a＝3. 此時f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)， 當x∈[－1,1]時，f(x)在[－1,0]上單調遞增，在(0,1]上單調遞減． 又f(1)＝0，f(－1)＝－4，f(0)＝1， ∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3. 3．(2017江蘇)設f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，則方程f(x)－lg x＝0的解的個數(shù)是________． 答案　8 解析　由于f(x)∈[0,1)，則只需考慮1≤x<10的情況，在此范圍內，x∈Q，且x?Z時，設x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互質．若lg x∈Q，則由lg x∈(0,1)，可設lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互質．因此＝， 則10n＝m，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾．因此lg x?Q，因此lg x不可能與每個周期內x∈D對應的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內x?D部分的交點，畫出函數(shù)草圖．圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期內x?D部分，且x＝1處(lg x)′＝＝<1，則在x＝1附近僅有1個交點，因此方程解的個數(shù)為8. 4．(2018無錫期中)已知函數(shù)f(x)＝－，則f(a＋1)＋f(a2－1)>0的解集為________． 答案　(－1,0) 解析　函數(shù)f(x)的定義域為R. f(－x)＝－＝， f(x)＝－＝， 所以f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)． 又f(x)＝－在R上單調遞減， 所以f(a＋1)＋f(a2－1)>0?f(a＋1)>f(1－a2)， 所以a＋1<1－a2，解得－1<a<0. 5．(2018江蘇高考預測)已知a>0，若函數(shù)f(x)＝且g(x)＝f(x)－ax2有且只有5個零點，則a的取值范圍是________． 答案　(2，e) 解析　由題意可知，x＝0是g(x)的1個零點， 當x≠0時，由f(x)＝ax2可得 a＝ 令h(x)＝(x＞0)，則h′(x)＝. 當0<x<時，h′(x)>0，當x>時，h′(x)<0， ∴h(x)在(0，)上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減， ∴h(x)≤h()＝e，且當x→＋∞時，h(x)→0，當x→0時，h(x)<0. 在同一平面直角坐標系中作出h(x)和y＝的圖象， 由圖可知，g(x)＝f(x)－ax2有且只有5個零點需滿足2<a<e， 則a的取值范圍是(2，e)． A組　專題通關 1．已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調遞增，若a＝f()，b＝f(log35)，c＝f(0.20.5)，則a，b，c的大小關系為________．(用“＜”連接) 答案　b<a<c 解析　∵f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)， ∴a＝f()＝f(－log53)＝f(log53)， ∵1>log53>log5＝，log35>log33＝1,0<0.20.5＝<，∴0.20.5<log53<log35， ∵f(x)在上是增函數(shù)， ∴f(x)在上為減函數(shù)， 則f>f>f，即b<a<c. 2．已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)．當x∈[2,4]時，f(x)＝，則f的值為____________． 答案　 解析　由函數(shù)的周期性可得f＝f＝f， 由函數(shù)的奇偶性可得f＝f＝|log42|＝. 3．函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在x∈[2，＋∞)上恒有|y|>1，則a應滿足的條件是_______． 答案　<a<1或1<a<2 解析　若0<a<1，當x≥2時，logax<0，∴l(xiāng)ogax<－1. 由題意知loga2<－1，∴a∈. 若a>1，當x≥2時，logax>0，∴l(xiāng)ogax>1. 由題意知loga2>1，∴a∈(1,2)． 綜上可知，<a<1或1<a<2. 4．若函數(shù)f(x)＝在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍為________． 答案　 解析　由題意得 ∴a∈. 5．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x－2，則不等式f(x－1)≤2的解集是________． 答案　[－1,3] 解析　因為偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，且f(2)＝2. 所以f(x－1)≤2，即f(|x－1|)≤f(2)， 即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3. 6．函數(shù)f(x)＝2x－(x－1)，x∈(1,3]的值域為______． 答案　(－∞，7] 解析　∵u1＝(x－1)在(1,3]上為減函數(shù)， ∴u2＝－(x－1)在(1,3]上為增函數(shù)． 又u3＝2x在(1,3]上也為增函數(shù)， ∴f(x)＝u3＋u2＝2x－(x－1)在(1,3]上為增函數(shù)． 故f(x)的值域為(－∞，7]． 7．若函數(shù)f(x)＝(a，b∈R)為奇函數(shù)，則f(a＋b)的值為________． 答案?。? 解析　因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)， f(－2)＝－f(2)，即 解得a＝－1，b＝2.經驗證a＝－1，b＝2滿足題設條件， 所以f(a＋b)＝f(1)＝－1. 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x，對任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是________． 答案　 解析　∵f′(x)＝3x2＋1>0， ∴f(x)在R上為增函數(shù)． 又f(x)為奇函數(shù)，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)<f(－x)．∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0， 令g(m)＝mx＋x－2，m∈[－2,2]， 由g(m)<0恒成立，可得 ∴－2<x<. 9．若函數(shù)f(x)＝|x2－4x|－2m＋1在區(qū)間上有3個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍為________． 答案　 解析　令g(x)＝|x2－4x|， 在同一直角坐標系中作出函數(shù)y＝g(x)和y＝2m－1的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)有3個不同零點等價于直線y＝2m－1與函數(shù)y＝g(x)的圖象有3個不同交點． 因為g(0)＝g(4)＝0，g(－1)＝5, g(2)＝4，g＝，結合圖象分析可得 <2m－1<4，解得<m<， 所以實數(shù)m的取值范圍為. 10．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)對?x∈恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　 解析　由已知得當x>0時，f(x)＝x2＋x， 故x2≤2logax對?x∈恒成立， 即當x∈時，函數(shù)y＝x2的圖象不在y＝2logax圖象的上方， 可以從圖象(圖略)知0<a<1且2loga≥， 解得≤a<1. B組　能力提高 11．函數(shù)f(x)＝的值域為________． 答案　 解析　函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x≥－1}， 則當x＝－1時，f(－1)＝0. 當x＞－1時， f(x)＝＝ ＝， ∵x＋1＋≥4， 當且僅當x＝1時，等號成立， ∴≤＝. 故函數(shù)f(x)＝的值域為. 12．設函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則實數(shù)a的取值范圍是________________． 答案　 解析　設g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0，使得g(x0)<h(x0)， 因為g′(x)＝ex(2x＋1)，可知g(x)在上單調遞減，在上單調遞增， 作出g(x)與h(x)的大致圖象如圖所示， 故 即 所以≤a<1. 13．(2018江蘇省姜堰等三校聯(lián)考)若方程|x2－2x－1|－t＝0有四個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則2＋的取值范圍是______． 答案　(8,4] 解析　如圖，作出函數(shù)y＝|x2－2x－1|和y＝t的圖象． 由圖象知，0＜t＜2， 因為|x2－2x－1|－t＝0，所以|x2－2x－1|＝t， 故x2－2x－1－t＝0或x2－2x－1＋t＝0， 則x4－x1＝ ＝＝，同理可得 x3－x2＝， 故2(x4－x1)＋(x3－x2)＝2＋， 令f(t)＝2＋(0＜t＜2)， 則f′(t)＝，令f′(t)＝0得t＝， 故f(t)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 而f＝4，f(0)＝6，f(2)＝8， 故2(x4－x1)＋(x3－x2)的取值范圍是(8,4]． 14．已知函數(shù)f(x)＝log2(2x＋1)． (1)求證：函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內單調遞增； (2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且關于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范圍． (1)證明　任取x1<x2，則 f(x1)－f(x2)＝log2(＋1)－log2(＋1) ＝log2， ∵x1<x2，∴0<2x1＋1<2x2＋1， ∴0<<1， ∴l(xiāng)og2<0， ∴f(x1)<f(x2)， 即函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內單調遞增． (2)解　方法一　由g(x)＝m＋f(x)，得 m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1) ＝log2＝log2， 當1≤x≤2時，≤≤， ∴≤1－≤， ∴m的取值范圍是. 方法二　解方程log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)， 得x＝log2， ∵1≤x≤2，∴1≤log2≤2， 解得log2≤m≤log2. ∴m的取值范圍是.