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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)《數(shù)列求和》講義
要點梳理
1. 等差數(shù)列前n項和Sn＝___＝__ na1＋d ___，
推導(dǎo)方法：__倒序相加法_____；
等比數(shù)列前n項和Sn＝ na1
推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法.
2.常見數(shù)列的前n項和
(1)1＋2＋3＋…＋n＝________；
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝__ n2＋n ______；
(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝__ n2____；
(4)12＋22＋32＋…＋n2＝________；
(5)13＋23＋33＋…＋n3＝___[]2_______.
3.數(shù)列求和的常用方法
（1）公式法：能直接用等差或等比數(shù)列的求和公式的方法。
（2）拆項求和法：將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列（等差、等比、常數(shù)列）然后分別求和的方法。
（3）并項求和法：將數(shù)列相鄰的兩項或幾項并成一組，得到一個新的更易求和的數(shù)列的方法。
（4）裂項相消法：將數(shù)列的通項分成二項的差的形式，相加消去中間項，剩下有限項再求和的方法。
（5）錯位相減法：將一個數(shù)列的每一項都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯動一個位置與原數(shù)列的各項相減，也即是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的方法。若為等差、為等比數(shù)列，則求數(shù)列的前項和可用此法。
（6）倒序求和法：即仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法
(1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過觀察數(shù)列通項公式特點和規(guī)律，判斷求和類型，尋找合適的求和方法. 求和過程中同時要對項數(shù)作出準確判斷. 含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類討論.
(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：
①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成.
②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和.
4.常見的拆項公式
①； ②
③；
④
基礎(chǔ)自測
1.若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為 ( )
A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1
C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n－2
2.已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項和為 ( )
A.或5 B.或5 C. D.
3.已知等比數(shù)列{an}的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項和的最大值 等于 ( )
A.126 B.130 C.132 D.134
4.已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為 ( )
A.－110 B.－90 C.90 D .110
5.如果數(shù)列{an}滿足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則an等于 ( )
A. B. C. D.
6.數(shù)列1，，，…的前n項和Sn＝________.
7.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝，其中前n項和Sn＝，則項數(shù)n＝__6 ______.
8.已知數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則這個數(shù)列前30項的絕對值的和是___765_____.
9.設(shè)數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列，a3，a5分別是方程x2－14x＋45＝0的兩個實根.則數(shù)列{an}的通項公式是an＝_.2n－1___；若bn＝，則數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝___2－_______.
例題分析：
題型一 分組轉(zhuǎn)化求和
例1 求和：(1)Sn＝＋＋＋＋…＋；
(2)Sn＝2＋2＋…＋2.
解 (1)由于an＝＝n＋，
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋＝－＋1.
(2)當x＝1時，Sn＝4n.當x≠1時，
Sn＝2＋2＋…＋2＝＋ ＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n
＝＋2n.
∴Sn＝
探究提高 某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對數(shù)列通項結(jié)構(gòu)特點進行分析研究，將數(shù)列的通項合理分解轉(zhuǎn)化.特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.
變式訓(xùn)練1 （1）
解：（1）
當時，
當時，
（2）求和Sn＝1＋＋＋…＋.
解 和式中第k項為
ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.
∴Sn＝2[＋＋…＋]＝2[(1＋1＋…＋1－(＋＋…＋)]
＝2＝＋2n－2.
題型二 錯位相減法求和
例2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝， ①
∴當n≥2時， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝ ②
①－②得3n－1an＝，∴an＝.
在①中，令n＝1，得a1＝，適合an＝，
∴an＝.
(2)∵bn＝，∴bn＝n3n.
∴Sn＝3＋232＋333＋…＋n3n， ③
∴3Sn＝32＋233＋334＋…＋n3n＋1. ④
④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n3n＋1－，
∴Sn＝＋.
變式訓(xùn)練2 ①已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋n＝2an (n∈N*).
(1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.求滿足不等式>2 013的n的最小值.
(1)證明 因為Sn＋n＝2an，即Sn＝2an－n，
所以Sn－1＝2an－1－(n－1) (n≥2，n∈N*).
兩式相減化簡，得an＝2an－1＋1.
所以an＋1＝2(an－1＋1) (n≥2，n∈N*)，
所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列.
因為Sn＋n＝2an，令n＝1，得a1＝1.
a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.
(2)解 因為bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，
所以bn＝(2n＋1)2n.
所以Tn＝32＋522＋723＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n， ①
2Tn＝322＋523＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)2n＋1， ②
①－②，得－Tn＝32＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)2n＋1＝6＋2－(2n＋1)2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)2n＋1
＝－2－(2n－1)2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)2n＋1.
若>2 013，則>2 013，即2n＋1>2 013.
由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.所以滿足不等式>2 013的n的最小值是10.
②.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差數(shù)列{bn}中，bn>0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.
解 (1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，
∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n>1)，
∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，
即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n>1).
而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.
∴數(shù)列{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴an＝3n－1 (n∈N*).
∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，
在等差數(shù)列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，
∴b2＝5.
又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn>0 (n∈N*)，
∴舍去d＝－10，取d＝2，
∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*).
(2)由(1)知Tn＝31＋53＋732＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①
∴3Tn＝33＋532＋733＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②
∴①－②得－2Tn＝31＋23＋232＋233＋…＋23n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n
＝3＋2－(2n＋1)3n
＝3n－(2n＋1)3n＝－2n3n.
∴Tn＝n3n.
③．在等差數(shù)列中，，前項和滿足條件，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項和。
解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，所以。
（Ⅱ）由，得。所以，
當時，；
當時，，
即。
題型三 裂項相消法求和
例3 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an.
(1)求Sn的表達式；
(2)設(shè)bn＝，求{bn}的前n項和Tn.
解 (1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn， ①
由題意Sn－1Sn≠0，
①式兩邊同除以Sn－1Sn，得－＝2，
∴數(shù)列是首項為＝＝1，公差為2的等差數(shù)列.
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.
(2)又bn＝＝
＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[＋＋…＋]＝＝.
探究提高 使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的.
變式訓(xùn)練3①已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝，求 Tn＝＋＋＋…＋
(1)解 由已知得
(n≥2)，得到an＋1＝an (n≥2).
∴數(shù)列{an}是以a2為首項，以為公比的等比數(shù)列.又a2＝S1＝a1＝，
∴an＝a2n－2 ＝n－2 (n≥2).
∴an＝
(2)證明bn＝＝＝n.
∴＝＝－
∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
②正項數(shù)列的前n項和為Sn，且
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)
解（1）∵∴=1 ∵
∴ ① ∴ ②
①—②，得
即而∴
故數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列?！?
（2）
∵∴
題型四 倒序求和法
例4．（1）設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法，可求
的值為
A． B． C． D．
解：由于，則原式
，選A
題型五 并項求和
例5 數(shù)列的前項和為 ，滿足：，，其中， 且（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足求的通項式.
（Ⅲ）記求證：
解（Ⅰ）當時，① ,②
②—①得： （）
又，解得： ,
是首項為1，公比為的等比數(shù)列。
（Ⅱ） ,
則
（Ⅲ）
變式訓(xùn)練5 的值是
A．2525 B．5050 C．10100 D．20200
解：原式，選B
例6．數(shù)列的通項，其前項和為.
(1) 求; (2) 求數(shù)列｛｝的前項和.
解: (1) 由于,故
,
故 ()
(2)
兩式相減得
故
數(shù)列求和練習(xí)（1）
1．數(shù)列的通項公式是，若它的前項和為10，則其項數(shù)為
A．11 B．99 C．120 D．121
解： ，則由，得，選C
2．數(shù)列的通項是，，則數(shù)列的的前項和為
A． B． C． D．
解：，則
，選A
3．已知數(shù)列的前項和為 ，則的值是
A．65 B．67 C．61 D．56
解： 由，得，
則原式，選B
4．數(shù)列的前項和為，則
A． B． C． D．
分析：代入檢驗，因，故選A
5．在等比數(shù)列中，，則
A． B． C． D．
分析：有，則，，
故原式，選D
6．數(shù)列的通項公式 ，前n項和 .
，
7．若數(shù)列滿足 ，，則數(shù)列的通項公式___
____.
8．數(shù)列中，，，則_________。
解：為奇數(shù)時，；為偶數(shù)時，，
9．數(shù)列中，，，則此數(shù)列的前xx項之和為________.
解：由題設(shè)可知，，（），則
10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為
（I）求數(shù)列的通項公式； （II）求和：.
解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，依題意得，
解得, ∴數(shù)列的通項公式為
（Ⅱ）解：∵，∴
∵
=
11．設(shè)數(shù)列的前n項和為，為等比數(shù)列，且
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
解：（1）：當時，
故{an}的通項公式為，即是，公差的等差數(shù)列
設(shè){bn}的通項公式為
故，即的通項公式為
（II）
兩式相減得
12.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn (n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項an；
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.
解 (1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn，
∴＝3.又∵S1＝a1＝1，∴數(shù)列{Sn}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
Sn＝3n－1 (n∈N*).
當n≥2時，an＝2Sn－1＝23n－2，
∴an＝
(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
當n＝1時，T1＝1；
當n≥2時，Tn＝1＋430＋631＋…＋2n3n－2， ①
3Tn＝3＋431＋632＋…＋2n3n－1， ②
①－②得：－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n3n－1
＝2＋2－2n3n－1
＝－1＋(1－2n)3n－1.
∴Tn＝＋3n－1 (n≥2).
又∵T1也滿足上式，
故Tn＝＋3n－1 (n∈N*).
13．設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，。
（1）求數(shù)列的通項公式
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為,對數(shù)列，從第幾項起？（參考數(shù)據(jù)：）
解(1) ∵, ∴,
當時,
∴=
(2) ∵, ∴.
由,解得,而n是正整數(shù),于是n≥46.
∴從第46項起.
14．已知數(shù)列的前項和，數(shù)列中
（1） 求；（2）若，求的前項和
數(shù)列求和練習(xí)（2）
1.數(shù)列1，，，…的前n項和Sn＝________.
解：，則，
2．Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若an＝，則Sn＝________.
答案：－－(n∈N*)
3．已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1,2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則當n≥1時，log2a1
＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝________.
解析：由題意知an＝2n，log2a2n－1＝2n－1，
log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
答案：n2
4.數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1(4n－3)，則它的前100項之和S100等于 ( )
A.200 B.－200 C.400 D.－400
解析：S100＝(1－5)＋(9－13)＋…＋[(499－3)－(4100－3)]＝(－4)50＝－200.
5.已知數(shù)列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 013項之和S2 013等于 ( )
A.4 018 B.2 010 C.1 D.0
6.已知等差數(shù)列的公差d<0，前n項和記為Sn，滿足S20>0，S21<0，則當n＝___10___時，Sn達到最大值.
7.若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且＋＋…＋＝n2＋3n (n∈N*)，則＋＋…＋＝__________.
解析：令n＝1得＝4，即a1＝16，
當n≥2時，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，
所以an＝4(n＋1)2，當n＝1時，也適合，
所以an＝4(n＋1)2(n∈N*)．
于是＝4(n＋1)，故＋＋…＋＝2n2＋6n.
8.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為0的函數(shù)，對任意x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n為常數(shù))，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍為________．
解析：f(2)＝f2(1)，f(3)＝f(1)f(2)＝f3(1)， f(4)＝f(1)f(3)＝f4(1)，
∴f(n)＝n，Sn＝＝1－.
答案：[ ，1）
9．等差數(shù)列{an}的公差不為零，a4＝7，a1，a2，a5成等比數(shù)列，數(shù)列{Tn}滿足條件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋，則Tn＝________.
解析：設(shè){an}的公差為d≠0，由a1，a2，a5成等比數(shù)列，得a＝a1a5，
即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d) ∴d＝2或d＝0(舍去)．
∴an＝7＋(n－4)2＝2n－1. 又＝22n－1＝2n＋1－1，
∴Tn＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)
＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.
10．在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}前n項的和，若Sn取得最大
值，則n＝________.
解析：設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即
a1＋(n－1)>0，所以n<，則n≤9，
當x≤9時，an>0，同理可得n≥10時，an<0.故當n＝9時，Sn取得最大值．
答案：9
11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
(1)證明：{an－1}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{Sn}的通項公式．請指出n為何值時，Sn取得最小值，并說明理由．
(1)證明：當n＝1時，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，則a1－1＝－15.
當n≥2時，Sn－1＝(n－1)－5an－1－85，
∴an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，
∴6an＝5an－1＋1，即an－1＝(an－1－1)，∴{an－1}是首項為－15，公比為的等比數(shù)列．
(2)解：an－1＝－15n－1，∴an＝1－15n－1
∴Sn＝n－5－85＝n＋75n－1－90.
an =1－15n－1>0，即15n－1<1，解得n>log＋1≈15.85. n>16時an >0
故n＝15時，Sn取得最小值．
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